在逻辑学中，推理是以一个或几个命题为依据得出一个新命题思维的过程。按前提与结论之间的结构关系，逻辑判断可以分为两个部分∶一是简单判断的逻辑判断；二是复合判断的逻辑判断。

一、直言判断推理及三段论

从形式上讲，直言命题是主谓式命题，它断定了某个数量的对象具有或者不具有某种性质，直言命题也可以称之为性质命题或者直言判断，是断定思维对象具有或者不具有某种性质的简单判断。直言命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。如果主项是普通词项，通常用大写字母S表示，如果主项是单称词项，即专名和摹状词，则用小写字母a表示；谓项用大写字母P表示。

根据所含联项和量项的不同，可以把直言命题分为六种类型∶

(1)全称肯定命题∶所有S都是P，缩写为A；

(2)全称否定命题∶所有S都不是P，缩写为E；

(3)特称肯定命题∶有的S是P，缩写为I；

(4)特称否定命题∶有的S不是P，缩写为O；

(5)单称肯定命题∶a(或某个S)是P；

(6)单称否定命题∶a(或某个S)不是P。

所谓“三段论”，就是由一个共同词项把两个作为前提的直言命题连接起来，得出一个新的直言命题作为结论的推理。三段论由大前提、小前提和结论三部分组成。其基本模式为∶

大前提∶一切p都是o(或非o)；

小前提∶q是p；

结论∶q是o(或非o)。

例如∶

(1)所有的昆虫都是6条腿，(大前提)

竹节虫是昆虫，(小前提)

所以竹节虫一定是6条腿。(结论)

(2)所有阔叶植物都是落叶的，(大前提)

所有葡萄树都是阔叶植物，(小前提)

所以，所有葡萄树都是落叶的。(结论)

进行三段论推理，关键就是要看这个共同词项能否把两个前提连接起来推出结论。如果连接不起来，则三段论就是错误的。

二、复台命题及其推理

1．假言命题和假言推理

(2)必要条件假言推理是一个前提为必要条件假言判断，另一个前提和结论为直言判断的假言推理。它也有两个正确式∶否定前件式和肯定后件式。否定前件式的公式为∶只有p，才q，非p，所以，非q。例如，育种时，只有达到一定的温度，种子才能发芽；这次育种没有达到一定的温度，所以，种子没有发芽。肯定后件式的公式为∶只有p，才q，q，所以，p。例如，只有肥料足，菜才长得好；这块地的菜长得好，所以，这块地肥料足。必要条件假言推理的规则是∶否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件；肯定前件不能肯定后件，否定后件不能否定前件。如果违反规则，推理是错误的。例如∶只有学习成绩优良，才能做三好学生；小吴不是三好学生，可见小吴学习成绩不是优良。这个结论也不可靠。因为规则(2)指出否定后件不能否定前件，而在这里，恰好是从否定后件到否定前件，所以是错误的。

(3)充要条件假言推理是一个前提为充分必要条件假言判断，另一个前提和结论为直言判断的假言推理。它有四个正确式∶

①肯定前件式∶当且仅当p，则q；p，所以，q。只有p，才q。

例如∶

当且仅当某甲具有作案的所有必要条件，并且现场留有某甲的指纹，某甲才是该案的作案者；

经查，某甲具有作案的所有必要条件，并且，现场留有某甲的指纹；

所以，某甲是该案的作案者。

②肯定后件式∶当且仅当p，才q；q，所以，p。

例如∶

只有灯泡是好的，电灯才会亮；

这盏灯亮了；

所以，这只灯泡是好的。

③否定前件式∶当且仅当p，才q；非p，所以，非q。

例如∶

只有年满十八岁，才有选举权；

小周还没有满十八岁；

所以，小周没有选举权。

④否定后件式∶当且仅当p，则q；非q，所以，非p。

例如∶

当且仅当社会出现了阶级，国家才出现；

国家未出现；

所以，社会没有出现阶级。

这种推理的规则是∶肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件；否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件。

2．选言命题和选言推理

选言命题是断定几种事物情况至少有一种存在的符合命题，它可以分为相容选言命题和不相容选言命题。判断一个选言命题是相容的还是不相容的，唯一的方法就是看其中的各个选言支是否能够同时成立，能够同时成立的，是相容选言命题；不能同时成立的，是不相容选言命题。

(1)相容选言命题和相容选言推理

相容选言推理指大前提是相容选言判断的选言推理。规则如下∶否定一部分支判断，就要肯定余下的支判断；肯定一部分支判断，却不能否定余下的支判断。据此，相容选言推理只有一个有效式，即否定肯定式∶或者p，或者q，非p，所以，q。

例如∶

一个词，或者是褒义的，或者是贬义的，或者是中性的。“结果”是个中性词，所以，“结果”不是褒义词，也不是贬义词。

(2)不相容选言命题和不相容选言推理

不相容选言推理指大前提为不相容选言判断的选言推理。它的规则是∶肯定部分支判断，就要否定余下的支判断；否定部分支判断，就要肯定余下的支判断。根据规则，不相容选言推理有两个有效式∶

①肯定否定式∶要么p，要么q；p，所以，非q。

例如∶这个三段论的错误，或者是前提不正确，或者是推理不符合规则；这个三段论的前提是正确的，所以，这个三段论的错误是推理不符合规则。

②否定肯定式∶要么p，要么q；非p，所以，q。

例如∶她或是自杀，或是他杀，或是意外事故，或是自然死亡；

她不是自杀，不是意外事故，不是自然死亡；所以，她是他杀。

3．关系命题和关系推理

关系推理指前提中至少有一个是关系判断的推理，它是根据关系的逻辑性质进行推理的。可分为纯关系推理和混合关系推理。纯关系推理就是前提和结论都是关系判断的推理，包括对称性关系推理、反对称性关系推理、传递性关系推理和反传递性关系推理。

(1)纯关系推理

①对称性关系推理是根据关系的对称性进行的推理。用公式表示为∶pRq，所以，qRp。例如∶李白与杜甫同时代，所以，杜甫与李白同时代。

②反对称性关系推理是根据关系的反对称性进行的推理。用公式表示为∶pRq，所以，qRp。例如∶姚明高于国家篮球队其他队员；所以，国家篮球队其他队员不高于姚明。

③传递性关系推理是根据关系的传递性进行的推理。用公式表示为∶pRq，qRo，所以，pRo。例如∶孔丘早于孟轲，孟轲早于朱熹，所以，孔丘早于朱熹。

④反传递性关系推理是根据关系的反传递性进行的推理。用公式表示为pRq，qRo，所以，pRo。例如∶大强是小明的叔叔，小明是丁丁的叔叔，所以，大强不是丁丁的叔叔。

(2)混合关系推理

混合关系推理就是有一个前提是关系判断，另一个前提是直言判断，结论是关系判断的推理。用公式表示为∶所有p与所有q有R关系，所有。是q，所以，所有p与所有。有R关系。例如，我们反对一切不正之风，用公款请客送礼是不正之风，所以，我们反对用公款请客送礼。