《高等代数》考试大纲

一、考试内容概述

《高等代数》是数学与应用数学的重要的基础内容，其主要内容是一元多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、向量空间 (亦称线性空间)、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的基本概念、基本知识和一些数学的基本思想方法。要求考生理解和掌握映射、数域、带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等相关知识；会应用行列式的性质计算行列式，掌握行列式的一些基本计算方法；理解线性方程组解的相关理论并掌握求解方法及解的表示；掌握矩阵理论并能灵活应用；理解向量空间和欧氏空间的一些基本概念并掌握相关知识的计算方法且能灵活应用；理解和掌握线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间、正交矩阵等相关知识；掌握正定二次型的等价条件及二次型的标准形并会判定。要求考生具备逻辑推理、抽象思维与综合分析问题的能力。能运用高等代数中的基本知识、基本理论进行推理和论证。考生还应熟练掌握高等代数中常用的计算方法，掌握基本运算中的技能、技巧，提高综合计算和解决问题的能力。

二、考试形式

考试采用闭卷、笔答的考试方式。满分：150分(单科成绩)。考试时间：120分钟。

三、试题难易程度分布

较易试题约占50％

中等试题约占30％

较难试题约占20％

四、题型及题型分值分布

单选题10小题，每小题4分，共40分约占27％

填空题10小题，每小题5分，共50分约占33％

计算题4小题，每小题10分，共40分约占27％

证明题2小题，每小题10分，共20分约占13％

五、内容比例

基本概念约占3％

一元多项式约占12％

行列式约占16％

线性方程组约占10％

矩阵约占16％

向量空间与欧式空间约占23％

线性变换约占13％

二次型约占7％

六、参考教材

1．北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，王萼芳、石生明修订：《高等代数》，高等教育出版社2003年7月第三版。

2．张和瑞、郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社2007年6月第五版。

七、考试内容及要求

(一)基本概念

考试内容：

1．映射。

映射的定义，满射、单射与双射，映射的相等，映射的合成，逆映射。

2．数域。

数域的定义，最小的数域。

考试要求：

1．熟记映射、满射、单射、双射的定义，理解它们之间的联系与区别。能根据定义判定所给的法则是否为映射，为何种映射。理解映射的相等与映射的合成概念。

2．会正确判定所给的数集是否为数域。

(二)一元多项式

考试内容：

1．一元多项式的概念、运算及整除性。

一元多项式的定义，一元多项式的项、首项、常数项、系数、次数，零多项式，零次多项式，多项式的相等，多项式的加、减、乘的运算法则，多项式整除的定义，整除的基本性质，带余除法定理。

2．多项式的最大公因式。

因式、公因式、最大公因式的定义，辗转相除法，多项式互素的判别方法，多项式互素的性质。

3．多项式的因式分解。

不可约多项式的性质，因式分解存在唯一性定理，多项式的典型分解式。

4．多项式的重因式与根。

多项式有无重因式的判定，多项式的值与根(丘重根、单根、重根)，余式定理，综合除法。

5．复数域、实数域、有理数域上的多项式。

代数基本定理，复数域上多项式的典型分解式，实数域上多项式的典型分解式，有理数域上多项式的可约性，艾森斯坦因判别法，有理数域上多项式的有理根，整系数多项式的有理根。

考试要求：

1．理解一元多项式的基本概念，注意零多项式与零次多项式的区别。

熟记整除的定义，掌握整除的基本性质并会运用这些性质证明有关的基本问题。熟练掌握带余除法的方法，会用带余除法解决有关的基本问题。

2．掌握多项式的最大公因式的定义，熟练应用辗转相除法求最大公因式。

理解多项式互素的概念及性质，初步掌握运用互素的定义及性质证明有关问题的基本方法。

3．掌握不可约多项式的定义及性质。

正确理解多项式因式分解存在唯一性定理，了解典型分解式的形式及其意义。

4．正确理解重因式的概念，熟练掌握有无重因式的判定方法。

记住多项式值与根的定义及余式定理。

5．理解代数基本定理。

掌握复数域、实数域上多项式的典型分解式的特征。

熟练掌握有理系数多项式有理根的求法。

(三)行列式

考试内容：

1．排列。

排列的定义，排列的反序数，排列的奇偶性。

2．n阶行列式。

n阶行列式的定义，行列式的项及项的符号，子式与代数余子式的概念，行列式的性质，行列式的依行依列展开，范德蒙行列式。

3．克莱姆法则。

考试要求：

1．理解排列的有关概念，会计算排列的反序数，确定排列的奇偶性。

2．深刻理解n阶行列式的定义并能利用定义计算行列式。

熟练掌握行列式的性质，能正确地依行依列展开行列式，并能灵活运用行列式的性质和展开定理计算行列式。

(四)线性方程组

考试内容：

1．矩阵的初等变换与矩阵的秩。

行(列)阶梯形矩阵，矩阵的k阶子式矩阵的秩，矩阵的初等变换，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，用初等变换求矩阵的秩，用初等变换化矩阵为阶梯形，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵，用初等变换解线性方程组。

2．齐次线性方程组。

齐次线性方程组的定义，齐次线性方程组的零解与非零解，齐次线性方程组有非零解的条件，齐次线性方程组的基础解系的定义、存在条件及求法。

3．一般线性方程组有解的判别方法及解的求法。

一般线性方程组可解的判别定理，唯一解的条件，无穷多解的条件，一般线性方程组求解的方法及解的结构。

八、考核目标

1．理解矩阵的尼阶子式、矩阵的秩与矩阵初等变换的定义。熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的秩和解线性方程组。

2．准确判定所给的齐次线性方程组有无非零解。在有非零解时，能熟练地求出齐次线性方程组的基础解系。

3．牢固掌握一般线性方程组可解的判别定理和线性方程组有唯一解及无穷多解的条件，会用导出齐次线性方程组的基础解系表示一般线性方程组的全部解。

(五)矩阵

考试内容：

1．矩阵的运算及运算律。

矩阵可加的条件与加法法则，矩阵可乘的条件与乘法法则，数与矩阵的乘法法则，方阵的幂，矩阵运算的运算律。

2．初等矩阵。

初等矩阵的性质，初等矩阵与初等变换的联系。

3．矩阵的逆。

可逆矩阵与逆矩阵的定义，可逆矩阵的性质，可逆矩阵的判定，逆矩阵的求法。

4．矩阵乘积的行列式与矩阵乘积的秩。

考试要求：

1．熟练掌握矩阵各种运算的法则及运算规律

2．记住初等矩阵的定义、性质及其与初等变换的关系。

3．理解可逆矩阵的定义、性质，掌握矩阵可逆的判定法则，能熟练运用公式法：，及初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵。

(六)向量空间与欧式空间

考试内容：

1．向量空间及向量的线性相关性。

向量空间的定义，向量空间的性质，向量的线性组合，向量的线性表示，向量的线性相关与线性无关，向量组的等价，极大线性无关组，向量组的秩。

2．基、维数与坐标。

向量空间的基的定义，基的性质，基的求法，向量空间的维数，维数的求法，向量的坐标，坐标的求法，基的过渡矩阵，过渡矩阵的性质，过渡矩阵的求法，基变换公式，坐标变换公式。

3．子空间。

子空间的定义，子空间的判别定理，子空间的交与和，生成子空间，子空间的基与维数，维数公式。

4．欧氏空间。

内积与欧氏空间的定义内积的性质，向量的长度，向量的夹角，柯西不等式，向量的正交，正交向量组，标准正交基，标准正交化方法

考试要求：

1．熟记向量空间的定义、性质，深刻理解向量线性相关性的一系列概念，灵活运用上述概念、性质判断或证明有关的问题。

2．掌握常见的向量空间的基、维数、坐标及过渡矩阵的求法。

3．理解子空间、交子空间和子空间、生成子空间的概念，掌握子空间的判别方法及维数公式的应用。

4．熟记内积与欧氏空间的有关概念，会计算内积、向量的长度、夹角和标准正交基。

(七)线性变换

考试内容：

1．线性变换及其运算。

线性变换的定义，线性变换的性质，线性变换的和，数与线性变换的乘积，线性变换的合成(线性变换的乘积)，线性变换的方幂，线性变换运算的运算律。

2．线性变换的矩阵。

线性变换的矩阵的定义，线性变换下像向量的坐标，矩阵相似的定义，相似矩阵的性质，线性变换关于不同基的矩阵的相似关系，在一个确定基下线性变换与矩阵间的1—1对应关系，线性变换可逆的条件。

3．线性变换和矩阵的特征值、特征向量。

特征值，特征向量，特征多项式的定义及系数的特征，特征多项式的求法，特征值的求法，特征向量的求法。

4．矩阵的对角化。

矩阵对角化的定义，矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法。

考试要求：

1．掌握线性变换的定义、性质和基本运算，熟练判断所给

的变换是否为线性变换。

2．掌握线性变换矩阵的定义、矩阵相似的定义，会运用线

性变换的矩阵计算像的坐标。深刻理解线性变换关于不同基的矩

阵彼此相似。

3．掌握线性变换和矩阵的特征值、特征向量的概念，注意

线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量的联系和区别。熟练掌握特征值、特征向量的求法。

4．理解线性变换与矩阵可对角化的含义，熟练掌握可对角化的条件和对角化的方法。对实对称矩阵A会求正交矩阵U，使得为对角形。

(八)二次型

考试内容：

1．二次型及其矩阵表示。

二次型的矩阵，二次型的秩，变量的线性变换，变量的非退化线性变换，二次型的等价，矩阵合同的定义及性质，等价二次型的矩阵合同，任一对称矩阵必与对角矩阵合同。

2．二次型的标准形。

化二次型为平方和的方法，二次型的标准型(系数为±1的平方和形式)，化二次型为标准形的方法，实二次型的正惯性指标、负惯性指标、符号差，复二次型、实二次型标准形的唯一性。

3．正定二次型。

正定二次型的定义，正定矩阵的定义，正定二次型的判定，正定矩阵的判定。

考试要求：

1．理解二次型及矩阵合同的有关概念，明确施行非退化线性变换前后的两个二次型是等价的，它们的矩阵是合同的。会利用矩阵的初等变换把对称矩阵化为与之合同的对角矩阵。

2．理解二次型的平方和、标准形及实二次型的惯性指标、符号差的概念，掌握化二次型为平方和及标准形的方法。

3．熟记正定二次型、正定矩阵的定义及性质，掌握正定二次型与正定矩阵的判别方法。