考试科目：高等代数

代码： 912

考试基本要求：

考察考生掌握《高等代数》的基本内容和方法的熟练程度。

考试基本内容

(一)多项式

带余除法、最大公因式、互素的概念与性质;不可约多项式、因式分解定理、重因式、实系数与复系数多项的因式分解，有理系数多项式不可约的判定;多项式函数、多项式的根、有理系数多项式的有理根求法。

(二)行列式

行列式的定义、性质;行列式的子式、代数余子式及展开定理;行列式的计算方法;克莱姆法则;行列式乘法

(三)线性方程组

线性方程组的解法; n维向量组的线性相关性;线性方程组有解的判定定理;线性方程组解法和解的结构

(四)矩阵

矩阵的运算;初等变换与初等矩阵;可逆矩阵;分块矩阵;矩阵的秩;矩阵的等价、合同、相似、正交相似;矩阵的可对角化问题

(五)二次型

二次型的标准形与合同变换;复数域与实数域上二次型的标准形、规范形;正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型及相应的矩阵类型

(六)线性空间

线性空间的概念;基、维数与坐标;基变换与坐标变换;子空间及其交与和、直和;线性空间的同构

(七)线性变换

线性映射与线性变换的概念、运算;线性变换的矩阵表示;线性变换(矩阵)的特征多项式、特征值与特征向量;线性变换的值域与核;不变子空间;最小多项式

(八)λ-矩阵

λ-矩阵在初等变换下的标准形;不变因子、矩阵相似的条件;初等因子、若尔当标准形

(九)欧氏空间

向量内积;正交基(组)、标准正交基(组)、Schmidt正交化方法;度量矩阵;正交变换与正交矩阵;正交补;对称变换与实对称矩阵;最小二乘法。

参考书

《高等代数》北京大学数学系前代数小组编,王萼芳,石生明修订, 第四版,高等教育出版社,ISBN:9787040379105，出版时间2013。

题型及分布

计算题: 约50%。

证明题和概念题: 约50%。