在行测考试中，常常会考察一些余数问题，但往往余数问题的求解不是简简单单就能搞定的，那就需要大家有一定的方法和技巧，接下来就让我们一起学习一下有关余数问题的一些性质。

一、同余概念

两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于m同余。例：21÷4余1，17÷4余1，所以17和21对于4同余。

二、同余特性

(1)余数的和决定和的余数;

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。

(2)余数的差决定差的余数;

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23-16=7 除以5的余数等于2，即两个余数的差 3-1。

(3)余数的积决定积的余数;

例： 23， 16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23×16 除以 5 的余数等于 3×1=3。

(4)余数的幂决定幂的余数。

例：求 20122012÷5的余数。

分析：一个 2012除以 5余 2，根据余数的积决定积得余数，所以20122012÷5余数为 22012 ，因为对于此题，余数小于5，所以 22012还要继续除以 5 求余数。

三、剩余定理

1、一般剩余问题的通用形式

一个数除以a余x，除以b余y，除以c余z，其中a、b、c两两互质，求满足该条件的最小数。

2、解法：逐步满足法

【例1】：三位运动员跨台阶，台阶总数在 100-150 级之间，第一位运动员每次跨 3 级台阶，最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶，最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨 5 级台阶，最后一步还剩 4 级台阶。问：这些台阶总共有多少级?

A.119 B.121 C.129 D.131

【答案】：A。

【解析】：由题意得，若多 1 级台阶，则运动员每次跨 3、 4、 5 级，均正好跨完所有台阶，即台阶数加 1 是 3、 4、 5 的倍数，所以台阶数可表示为 60n-1(n 为正整数)，结合选项可知答案为 A。

【例2】：三位数的自然数 N 满足：除以 6 余 3，除以 5 余 3，除以 4 也余 3，则符合条件的自然数 N 有几个?

A.8 B.9 C.15 D.16

【答案】：C。

【解析】： 6、5、4 的最小公倍数是 60，由于这个三位数除以6、5、4所得余数都为3，则这个数可写成 60n+3 的形式，且 n 为整数。这个数是一个三位数，满足100≤60n+3≤999，解得 2≤n≤16，即符合题意的数共有 16-2+1=15 个。

【例3】：三位数的自然数P满足：除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4，则符合条件的自然数 P 有多少个?

A.15% B.20% C.25% D.27%

【答案】：B。

【解析】：先从最大的除数开始满足，满足除以11余4的最小数为15，则11n+15都满足这一条件，当n=0、1、2、3时，均不满足除以7余3，当n=4时，11n+15=59，满足除以 7余3，11和7的最小公倍数是77，则77n+59 都满足这两个条件。当n=0时，59满足除以 3余2，77和3的最小公倍数是231，则231n+59满足以上三个条件。又因为P为三位数，所以n只能取1、2、3、4，即符合条件的自然数P有4个，选择B。