2017年浙江工业大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲(数学分析)
来源:浙江工业大学网 阅读:631 次 日期:2016-10-10 10:06:43
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一、基本内容

1、函数与极限

(1)函数

掌握函数的定义,函数的表示法,函数的运算,会求给定函数的反函数,熟悉初等函数的性质,熟悉有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数的性质。对一元函数,了解平面曲线与函数的联系与区别。

(2)数列极限

掌握数列极限的定义,可用 语言证明数列极限的存在性,不存在性,能求给定数列的极限,熟悉收敛数列的性质和数列极限存在的条件。

(3)函数极限

熟悉各种极限定义,可用 语言证明函数极限的存在性,熟悉函数极限的性质和存在条件,明确无穷小量和无穷大量阶的比较。会求给定函数极限。

(4)实数集和实数完备性

熟悉几个重要的实数集,掌握实数集上下确界概念。掌握实数完备性的几个基本定理,熟悉其证明和应用。

(5)函数的连续性

熟悉函数连续的定义,函数间断点的分类,掌握连续函数的性质。掌握一致连续的概念,能够证明和函数连续性有关的命题。

2、一元函数微分学

(1)导数

熟悉导数、左右导数、高阶导数概念,明确导数的几何意义,了解导函数的性质,掌握求导法则,会求初等函数、分段函数、参数方程决定函数和隐函数的导数、高阶导数。明确可导与连续的关系,能正确讨论函数的连续性、可导性。

(2)微分

掌握微分、高阶微分定义,微分的运算法则,求微分和高阶微分的方法。会利用微分进行近似计算。

(3)中值定理与泰勒公式

掌握费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,并能利用这些定理证明命题,证明不等式。熟悉几种类型的泰勒公式。熟悉基本初等函数的泰勒公式,会将给定函数泰勒展开。能用泰勒公式进行近似计算。

(4)函数作图

掌握函数驻点、拐点、极值、最大最小值、渐近线的求法,熟悉函数单调性、凸性的讨论,能熟练进行函数作图。

3、一元函数积分学

(1)不定积分

掌握原函数和不定积分概念,熟练掌握求不定积分的方法。

(2)定积分

熟悉定积分的定义、可积的必要条件和充分条件、常用可积函数类、定积分的性质、定积分的计算。熟练掌握微积分学基本定理,会求积分变限函数的极限、导数。掌握无穷积分和瑕积分的收敛判别法、绝对收敛判别法,明确定积分与反常积分性质方面的异同。

会用定积分求平面图形的面积、立体体积、曲线的弧长、曲率。熟悉微元法。

4、多元函数及其微分学

(1)多元函数的极限与连续

掌握重极限与累次极限的定义、联系与区别,能熟练讨论极限的存在性,会求极限值。

(2)偏导、微分和方向导数

掌握偏导、微分和方向导数的概念、求法,特别是复合函数高阶偏导的求法,隐函数偏导的求法。熟悉可微性条件、几何意义与应用。能熟练讨论多元函数连续、可微、偏导连续之间的关系,能举出具有其中几种性质而不具有其余性质的多元函数例子。

能利用偏导数求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线。熟练掌握条件极值的求法,闭区域上函数的最大最小值求法。

5、多元函数积分学

(1)重积分

熟悉重积分的定义和可积性条件,熟练掌握重积分的计算、交换积分次序方法,会利用重积分计算面积、体积。

(2)曲线积分和曲面积分

掌握第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分的定义、计算方法,两类曲线积分的关系,两类曲面积分的关系,曲线积分与二重积分的关系(格林公式),曲面积分与三重积分的关系(高斯公式),曲面积分与曲线积分的关系(斯托克斯公式)。

6、级数理论

(1)数项级数

掌握级数、正项级数、交错级数的概念和收敛判别法,明确级数和数列的关系。

(2)函数列与函数项级数

掌握函数列与函数项级数一致收敛的概念、判别法、性质, 和函数的连续性,级数的逐项可导、逐项可积性。

(3)幂级数

掌握幂级数收敛半径、收敛区间的求法,熟练掌握函数的泰勒级数展开法,注意利用逐项求导和逐项积分的展开方法。

(4)傅里叶级数

熟悉傅里叶级数的收敛定理,掌握函数展开成傅里叶级数的条件与方法。

二、考试要求(包括考试时间、总分、考试方式、题型、分数比例等)

考试时间:180分钟

总分:150分

考试方式:笔试,闭卷

题型、分数比例:计算题约占40%,概念题、证明题约占60%。

三、主要参考书目

1、《数学分析》(第三版,上下册)华东师大数学系著 高等教育出版社 2001或之后版本

2、《数学分析》(第一版)欧阳光中、姚允龙、周渊编著 复旦大学出版社 2003 或之后版本

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