学院：理学院

加试科目：近世代数

一、基本概念

1．理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。

2．理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。

3．掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。

4．掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射。

5．掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

6．理解关系和等价关系的概念，熟悉剩余类的基本特性。

二、群论

1．了解群的第一、第二定义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。

2．充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。

3．理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质。

4．掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点。

5．理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

6．了解子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的关系。

7．掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的映射关系，并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

8．了解不变子群的定义，能掌握一个群的子群是不变子群的充分必要条件的定理，理解商群的定义。

9．了解核的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质。并能将子群或不变子群的性质运用到循环群、变换群等中。

三、环与域

1．熟悉环的定义，环中的计算规则。

2．理解交换环的定义，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握消去律与零因子的关系。

3．了解除环的定义，理顺环——交换环、有单位元环和无零因子环——整环、除环——域的关系。

4．理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，熟悉子除环的子集作成子除环的条件，了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。

5．了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

6．理解理想子环的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个环是否是理想子环，和理想子环是否为主理想子环。

7．掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌握同构的环的商域也同构的定理。

四、整环里的因子分解

1．了解整除，单位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整环中不等于零的元有真因子的充分而且必要的条件，掌握唯一分解的定义，了解整环中的元是否都有唯一分解。

2．知道唯一分解环的定义和性质，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判别唯一分解环的方法。

3．理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

4．了解欧氏环的定义，理解欧氏环、整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。

参考书目：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。

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