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《高等数学》考试大纲

一、适用范围

本大纲适用于上海金融学院专升本入学考试科目《高等数学》。

二、课程学习目标

高等数学课程以极限理论为基础理论，导出微分学和积分学，以空间解析几何为引导，深入至多元函数的微积分学，微分方程和无穷极数。基本内容可分成两大部分，即数学概念与应用，数学理论与计算。通过数学概念与应用学习，强化数学的应用，培养定量化思维方式，增强对数学的应用意识与数学建模能力。通过计算与理论部分学习，掌握基本公式和基本方法、数学理论的重要结论，培养结论的应用能力和借用能力。

高等数学课程是高等学校经济、管理类及计算机类等重要的基础理论课之一，通过本课程的学习，能较系统地获得微积分基础理论知识和常用的运算方法，为学习进一步获得数学知识奠定必要的数学基础，也为专业课程的定量分析打下基础。

三、考试形式

1．考试形式：闭卷（满分100分），笔试（不能使用计算器）

2．考试时间：120分钟

3．考试题型：填空题、单项选择题、计算题、应用题、证明题

四、考试教材

1.考试教材：《微积分》赵树嫄主编，中国人民大学出版社2007年6月第3版。

2.参考教材：《微积分（第3版）学习参考》赵树嫄等编著，中国人民大学出版社2007年8月。

五、考试内容与要求

（一）、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函

数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限无穷小量和无穷量大的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则 两个重要极限 函数连续性的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。

2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5.了解数列极限与函数极限（包括左极限与右极限的概念）描述性的概念。

6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算，掌握利用两个重要极限求极限的方法，会用极限存在准则求极限。

7.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法，了解无穷量大的概念及其与无穷小量的关系。

8.理解函数的连续性的概念（包含左连续与右连续），会判断函数间断点的类型。

9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

（二）、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数的单调性、极值、凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值

考试要求

1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义和经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程，会分析导数的经济意义。

2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数和隐函数的导数。

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

5.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，掌握这三个定理的简单应用。

6.会用洛必达法则求极限。

7.掌握函数单调性的判别法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。

8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线。

9.会描绘简单函数的图形。

（三）、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分变上限函数及其导数 牛顿－莱布尼兹公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分

定积分的应用

考试要求

1.理解原函数与不定积分的概念。

2.掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。

3.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分变上限函数并会求其导数，掌握牛顿－莱布尼兹公式以及定积分的换元积分法与分部积分法。

4.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用问题。

5.了解反常积分的概念，会计算反常积分。

（四）、多元函数微积分

考试内容

多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值 二重积分的概念和基本性质 二重积分的计算

考试要求

1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，掌握多元复合函数一阶偏导数的求导方法，会求多元函数二阶偏导数，会求多元隐函数的偏导数，会求全微分。

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值和条件极值，并会解决简单的应用问题。

5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

（五）、无穷级数

考试内容

数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数和的概念 级数的基本性质与收敛

的必要条件 几何级数和 级数及其敛散性 正项级数收敛与发散的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数收敛与发散的判别法 幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域 幂级数的和函数 幂级数的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 函数展开成幂级数

考试要求

1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。

2.掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数和 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。

3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及数绝对收敛与条件收敛的关系，掌握交错级数的莱布尼兹审敛法。

4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。

5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数的和函数。

6.会用已知展开式将简单函数间接展开成幂级数．

（六）、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的二阶微分方程

考试要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。

3.掌握可降阶的二阶微分方程 的求解方法。

说明：

上述考试要求中，按照“了解”、“理解”、“会”、“掌握”对考试内容进行了规定．其具体含义是：

1.了解：知道基本概念、基本理论和基本方法。

2.理解：对基本概念、基本理论和基本方法熟练掌握。

3.会　：在了解（知道基本概念、基本理论和基本方法）的基础上，能够运用基本理论、基本概念和基本方法。

4.掌握：在理解（对基本概念、基本理论和基本方法熟练掌握）的基础上，能够熟练运用基本概念、基本理论和基本方法。

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